8 Bodový a intervalový odhad

Cíle cvičení

Umět definovat vlastnosti odhadu.
Naučit se aplikovat zákon velkých čísel.
Provést bodový a intervalový odhad parametru.
Užít \(t\)-test jako pomocný nástroj k sestavení odhadu.

Obecně je odhadem v matematické statistice nazýváno určení parametru rozdělení hodnoty určitého znaku základního souboru s pomocí výběrového souboru.

Obecné charakteristiky základního souboru značíme písmeny řecké abecedy (např. \(\mu\), \(\sigma\), \(\ldots\)), pro výběrové charakteristiky volíme analogická písmena z latinky (\(\bar{x}, s_x, \ldots\)).

8.1 Vlastnosti odhadu

V mnoha situacích potřebujeme odhadnout určitý parametr (střední hodnotu, \(90\%\) kvantil atp.) neznámé náhodné veličiny. Tento parametr odhadujeme pomocí nějaké statistiky výběru z této veličiny. Například odhadujeme střední hodnotu veličiny pomocí průměru. Abychom mohli určit hodnotu parametru (např. střední hodnotu) přesně, musel by být výběr nekonečně velký. Jelikož toto v praxi nenastane, náš odhad je vždy více či méně odlišný od skutečné hodnoty parametru (např. střední hodnoty) neznámé veličiny. Důležitou vlastností odhadu je nestrannost - o nestranném odhadu mluvíme pokud střední hodnota odhadu je rovna neznámému parametru.

V přednáškách o charakteristikách náhodné veličiny a jejich odhadech je zmíněna rovnice

\[ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]

jako nestranný odhad veličiny \(X\). Z definice rozptylu \(\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X^2))]\) však vyplývá odhad

\[ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}. \]

Cvičení

Doplňte následující kód.

Kód

X <- data.frame()
for (i in 1:nsim) {
  x <- rnorm(n)
  s_unb <- 1/(n-1)
  s_bia <- 1/n
  X <- rbind(X, c(s_unb, s_bia))
}
names(X) = c('UNB', 'BIA')

Napište funkce pro odhad ropztylu.
Zamyslete se, které proměnné nejsou určeny a doplňte je.
Spočtěte pro každou metodu průměrný odhad a systematickou chybu tohoto odhadu.
Který odhad je nejméně vychýlený a v jaké situaci?

8.1.1 Zákon velkých čísel

Zákon velkých čísel popisuje skutečnost, že s rostoucím počtem opakování nezávislých náhodných pokusů se empirické charakteristiky (realizované výběrové odhady), které popisují výsledky těchto pokusů blíží k teoretickým charakteristikám.

Úloha

Generujte s pomocí funkce rnorm postupně \(10\), \(10^2\), \(10^3\) čísel se shodnou střední hodnotou a shodným rozptylem. Spočítejte \(\bar{x}\) a \({s^2}\), použijte nápovědu. Okomentujte výsledky.

8.2 Bodový odhad

Bodovým odhadem se se rozumí jednočíselná hodnota, která reprezentuje vybraný moment statistického souboru jako celek. Bodovým odhadem je například výběrový průměr nebo výběrový rozptyl.

Kód

set.seed(100)
x <- rnorm(10, 10, 10)
mean(x)
## [1] 9.820428
var(x)
## [1] 31.48541

8.2.1 Odhad parametru \(\mu\), neboli střední hodnoty normálního rozdělení s neznámým rozptylem

Takto formulovaný bodový a intervalový je jednou z nejčastěji prováděných úloh. Nejprve bodovým odhadem zjistíme výběrový průměr souboru.

Kód

mean(x)

[1] 9.820428

Vidíme, že \(x =\) 9.8204284. Pro tento průmer následně spočítáme interval spolehlivosti.

8.3 Intervalový odhad

V případech, kdy chceme znát polohu bodového odhadu s nějakou danou pravděpodobností, můžeme se pokusit zkonstruovat tzv. intervalový odhad. Rovnice 8.1 je rovnice pro intervalový odhad střední hodnoty při neznámém rozptylu.

\[ \bar{X} \pm \dfrac{s}{\sqrt{n}}t_{1-\alpha/2}(n-1) \tag{8.1}\]

\(100(1-\alpha)\%\) interval spolehlivosti je rozmezí, ve kterém se usuzovaná hodnota základního souboru bude nacházet s určitou pravěděpodobností. Je tomu tak současně za předpokladu, že samotná poloha hledaného parametru je konstantní.

Kód

alpha <- 0.05
cbind(
  mean(x) - sd(x)/length(x)*qt(p = 1 - alpha/2, df = length(x) - 1),
  mean(x) + sd(x)/length(x)*qt(p = 1 - alpha/2, df = length(x) - 1)
)

        [,1]     [,2]
[1,] 8.55109 11.08977

8.4 Maximálně věrohodný odhad

Maximálně věrohodný odhad je takový, který maximalizuje věrohodnostní funkci \(L\) pro výběr \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\)

\[ L(\theta, x_1, x_2, \ldots, x_n) = p(x_1, \theta) \cdot p(x_2, \theta) \cdot \ldots p(x_n, \theta) = \prod\limits_{i=1}^{n}p(x_i, \theta) \] Konstrukce věrohodnostní funkce

8.4.1 Maximálně věrohodný odhad pro normální rozdělení

Vjděme z pravděpodobnostní funkce normálního rozdělení s předpisem Rovnice 8.2, který

\[ f(y|\mu, \sigma) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right] \tag{8.2}\]

Věrohodnostní funkce je vyjádřena:

\[ L\left(\mu, \sigma^2; x_1, \ldots, x_n\right) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\left(-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{j=1}^{n}(x_j-\mu)^2\right) \tag{8.3}\]

Dva parametry \(\mu\) a \(\sigma\) jsou neznámé

Kód

mu <- 5
sigma <- 1

n <- 1000
x <- rnorm(n, mu, sigma^2)

norm.lik <- function(pars, x) {
  n <- length(x)
  mu <- pars[1]
  sigma2 <- pars[2]
  logl <- -0.5 * n * log(2*pi) - 0.5 * n * log(sigma2) - 
    (1/(2 * sigma2))*sum((x - mu)^2)
  return(-logl)
}


result <- optim(par = c(0.1, 2),
                fn = norm.lik,
                x = x,
                method = "BFGS",
                hessian = TRUE)

mle_mean <- result$par[1]
mle_sigma2 <- result$par[2]

1: Skutečné parametry \(\mu\) a \(\sigma\), které použijeme ke generování náhodných čísel.
2: Získáme pseudonáhodná čísla z Normálního rozdělení.
3: Definice věrohodnostní funkce Rovnice 8.3,
4: je nutné pro optimalizační algoritmus vrátit v záporné hodnotě.
5: S použitím funkce optim() hledáme maximálně věrohodný odhad. Je potřeba zadat počáteční parametry, optimalizovanou funkci, vektor měření a methodu řešení. Pokud bychom chtěli i intervalový odhad, je nutné nechat spočítat hessián, neboli determinant Hessovy matice.
6: Uložíme získané hodnoty odhadů.

MLE pro střední hodnotu: 5.0232384
MLE pro rozptyl: 1.065408.

8.5 \(t\)-test

Testování hypotéz podrobněji probereme v Kapitola 9. Nyní si nicméně ukážeme, že výstupem funkce t.test() je rovněž intervalový odhad pro střední hodnotu Normálního rozdělení při neznámém rozptylu. Testovací statistika pro oboustrannou alternativu má hodnotu

\[ \dfrac{|\bar{x} - \mu_0|}{s}\sqrt{n} > t_{\alpha/2}(n-1) \] a pro jednostrannou alternativu \(\mu > \mu_0\)

\[ \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s}\sqrt{n} > t_{\alpha}(n-1) \] respektive

\[ \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s}\sqrt{n} < t_{\alpha}(n-1) \] pro \(\mu < \mu_0\). \(n-1\) je počet stupňů volnosti.

Úloha

Spočítejte pomocí funkce t.test intervalový odhad pro x = rnorm(100) a set.seed(100).